Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ．

定义在（-1，1）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 4 x +1 ．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；（3）当实数λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解？

Answer 1

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）． ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）= - 2 -x 4 -x +1 =- 2 x 4 x +1 由f（0）=f（-0）=-f（0）， 得f（0）=0． ∴在区间[-1，1]上，有f（x）= 2 x 4 x +1     x∈(0，1) - 2 x 4 x +1      x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1} （2）证明当x∈（0，1）时，f（x）= 2 x 4 x +1 ，设0＜x 1 ＜x 2 ＜1， 则f（x 1 ）-f（x 2 ）= 2 x 1 4 x 1 +1 - 2 x 2 4 x 2 +1 = ( 2 x 2 - 2 x 1 )( 2 x 1 + x 2 -1)   ( 4 x 1 +1)( 4 x 2 +1)  ∵0＜x 1 ＜x 2 ＜1，∴ 2 x 2 - 2 x 1 ＞0， 2 x 2 + x 1 -1＞0，∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 故f（x）在（0，1）上单调递减． （3）由（2）得，函数f（x）在区间在（-1，1）上的取值范围是（ 2 5 ， 1 2 ）∪（- 1 2 ， 2 5 ）∪{0}． ∴当实数λ∈（ 2 5 ， 1 2 ）∪（- 1 2 ， 2 5 ）∪{0}时，关于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解