Question

已知函数f（x）=4sinx?sin 2 （ π 4 + x 2 ）+cos2x（1）设ω＞0为常数，若y=f（

已知函数f（x）=4sinx?sin 2 （ π 4 + x 2 ）+cos2x（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间[- π 2 ， 2π 3 ]上是增函数，求ω的取值范围．（2）求{m||f（x）-m|＜2成立的条件是 π 6 ≤x≤ 2π 3 ，m∈R}．

Answer 1

（1）函数f（x）=4sinx?sin 2 （ π 4 + x 2 ）+cos2x =2sinx[1-cos（ π 2 +x ）]+cos2x =2sinx+2sin 2 x+cos 2 x-sin 2 x=1+2sinx…（4分） 由题意需[- π 2 ， 2π 3 ] ?[- π 2ω ， π 2ω ] 得ω ∈(0， 3 4 ] …（6分） （2）由题意当 π 6 ≤x≤ 2π 3 时，|f（x）-m|＜2，即2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立 解得1＜m＜4…（9分） ∴{m||f（x）-m|＜2成立的条件是 π 6 ≤x≤ 2π 3 ，m∈R}={m|1＜m＜4}…（10分）