Question

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=45（如图1），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=45（如图1），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止．过E作EF∥AC交AB于F，联结DF．（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域；（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图2）．求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．

Answer 1

（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=10，底角B满足cosB=

4

5

，
∴BC=10×

4

5

×2=16．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

BC

．
BD=x，EF=y，DE=3
∴y=

5

8

（x+3）．（0≤x≤13）．

（2）依题意易得在三角形FBE中，FB=FE=

5

8

（x+3）．
若∠FDB为直角时（如图1），有BD=DE．
∴x=3     
又∵cosB=

4

5

，
∴FD=

3

4

BD=

3

4

×3=

9

4

．
∴三角形BDF的面积为

1

2

×

9

4

×3

27

8

．
若∠BFD为直角时（如图2），BF=EF=

5

8

（x+3）=

4x

5

，
∴x=

75

7

，
∴三角形BDF的面积为

1

2

×

75

7

×

4

5

×

75

7

×

3

5

=

1350

49

，


（3）平行四边形．面积为

13

4

．