Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是个边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．（Ⅰ

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是个边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．（Ⅰ）证明：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）求三棱锥C-BDQ的体积．

Answer 1

（I）证明：连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，
∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE；
（II）解：∵侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．
∴棱锥Q-BCD的高QA=1，
又∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴棱锥Q-BCD的底面面积S_△BCD=2，
∴VC?BDQ＝VQ?BCD＝

1

3

×S△BCD×QA＝

1

3

×2×1＝

2

3

．