Question

已知等差数列{an}前n项和为sn，且a3=3，s15=120．（1）求数列{an}的通项an；（2）设bn=n?2an，求数列{bn}

已知等差数列{an}前n项和为sn，且a3=3，s15=120．（1）求数列{an}的通项an；（2）设bn=n?2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意得

a1+2d＝3 15a1+ 15×14 2 d＝120

，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）b_n=n?2^a_n=n?2ⁿ，
∴T_n=1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ，
2T_n=1?2²+2?2³+3?2⁴+…+n?2ⁿ⁺¹，
两式相减得，-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹
=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．