Question

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：AF=BD；（2）要使四边形AFBD是正方形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵D为BC的中点，E为AD的中点，
∴BD=CD，AE=DE（中点定义），
又AF∥BC（已知），
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE（两直线平行内错角相等），
在△AEF和△DEC中，

∠AFE＝∠DCE ∠FAE＝∠CDE AE＝DE

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD（全等三角形的对应边相等），
∴AF=BD（等量代换）；

（2）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，
∴AD=BD，∠ABD=90°，
∴四边形AFBD为正方形．