Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0且a≠1），若存在x1、x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，求a的

已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0且a≠1），若存在x1、x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，求a的取值范围．

Answer 1

∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴当x∈[-1，1]时，|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
∵f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna），
记g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0 ），∵g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=(

1

t

?1)2≥0，（当t=1时取等号），
∴g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0．
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）；
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1?a-lna≥e-1?a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1，可得

1

a

+lna≥e-1，

1

e

≥a＞0
综上知，所求a的取值范围为 （0，

1

e

]∪[e，+∞）．