Question

已知（a 2 +1） n 展开式中各项系数之和等于（ 16 5 x 2 + 1 x ）

已知（a 2 +1） n 展开式中各项系数之和等于（ 16 5 x 2 + 1 x ） 5 的展开式的常数项，而（a 2 +1） n 的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

Answer 1

由（ 16 5 x 2 + 1 x ） 5 得， T r+1 =C 5 r （ 16 5 x 2 ） 5-r （ 1 x ） r =（ 16 5 ） 5-r ?C 5 r ?x 20-5r 2 ． 令T r+1 为常数项，则20-5r=0， ∴r=4，∴常数项T 5 =C 5 4 × 16 5 =16． 又（a 2 +1） n 展开式的各项系数之和等于2 n ． 由题意得2 n =16，∴n=4． 由二项式系数的性质知，（a 2 +1） n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3 ， ∴C 4 2 a 4 =54， ∴a=± 3 ．