Question

已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴交于点A、B两点，A（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）设C

已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴交于点A、B两点，A（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）设C是抛物线与y轴的交点，△ABC的面积为3，求此抛物线的表达式；（3）若D是第二象限内到x轴、y轴距离的比为5：2的点，且点D在（2）中的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使DE与EA的差最大？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x=-

b

2a

=-2，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，
设点B的坐标为（x，0），
则

-1+x

2

=-2，解得x=-3，
∴B的坐标（-3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵S_△ABC=

1

2

AB?OC=3，
∴

1

2

×2?OC=3，
∴OC=3，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3）．
①如果点C的坐标为（0，3）时，
将C（0，3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得

t=3 a-4a+t=0

，解得

a=1 t=3

，
∴此抛物线的表达式为y=x²+4x+3；
②如果点C的坐标为（0，-3）时，
将C（0，-3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得

t=-3 a-4a+t=0

，解得

a=-1 t=-3

，
∴此抛物线的表达式为y=-x²-4x-3；

（3）设D点坐标为（-2t，5t），则t＞0．
①如果（2）中的抛物线为y=x²+4x+3时，
将D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，
整理，得4t²-13t+3=0，
解得t₁=3，t₂=

1

4

，
∴D点坐标为（-6，15）