Question

已知函数f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l平行于x轴，

已知函数f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

（1）函数的定义域为（-∞，2），f′（x）=a+

1

x?2

，
把x=1代入f（x）得：f（1）=a，则切点坐标为（1，a），
把x=1代入导函数中得：f′（1）=a-1，则切线的斜率k=f′（1）=a-1，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l平行于x轴
∴切线斜率k=f′（1）=a-1=0，解得a=1．
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定义域为（-∞，2），
当a＞0时，f′（x）=a+

1

x?2

，
由f′（x）＞0得a+

1

x?2

＞0，解得x＜2?

1

a

，此时函数单调递增，
∴函数的单调增区间为（-∞，2-

1

a

）．
由f′（x）=a+

1

x?2

＜0，
解得2-

1

a

＜x＜2，此时函数单调递减，
∴函数的单调减区间为（2-

1

a

，2）．
（3）①当2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在[0，1]上单调递减，∴f_min（x）=f（1）=a．
②当0＜2-

1

a

≤1，即

1

2

＜a≤1时，f（x）在[0，2-

1

a

）上单调递增，在（2-

1

a

，1]上单调递减，
∵f（0）=ln2，f（1）=a，e

1

2

＜3

1

2

＜2＜e，
∴

1

2

＜ln

3

＜ln2＜lne＝1，
即当

1

2

＜a＜ln2时，f_min（x）=f（1）=a．
当ln2≤a＜1时，f_min（x）=f（0）=ln2．
③当2-

1

a

≥1，即a≥1时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f_min（x）=f（0）=ln2．
综上：当0＜a＜ln2时，f_min（x）=a．
当a≥ln2时，f_min（x）=ln2．