Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-34x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同

如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-34x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A-B-O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求点A与点B的坐标；（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=-

3

4

x+3=0，解得x=4，
∴点A的坐标为（4，0）；
令x=0，得y=-

3

4

×0+3=3，
∴点B的坐标为：（0，3）；

（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴

AQ

AO

＝

AP

AB

＝

QP

OB

即：

t

4

＝

4?t

5

＝

QP

3

解得：AQ=t=

16

9

，QP=

4

3

，
∴S_△APQ=

1

2

AQ?PQ=

1

2

×

16

9

×

4

3

=

32

27

；

（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得

OE

OB

＝

OP

OA

，
∴BM=

3

5

（3-

3

4

t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=

4

5

（4-t），
∴QN=

4

5

（4-t）-t，
由BM=QN，得

3

5

（3-

3

4

t）=

4

5

（4-t）-t
∴t=

28

27

，
∴E（0，

7

9

）；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=

4

5

AQ=

4

5

t
∵OP+AP=OA，
∴t+

4

5

t=4
∴t=

20

9

，
∴OE=<