Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于a，D，E分别是AC1，BB1的中点．（1）求证：平面AEC1⊥平面ACC1

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于a，D，E分别是AC1，BB1的中点．（1）求证：平面AEC1⊥平面ACC1A1；（2）求点C1到平面AEC的距离．

Answer 1

证明：（1）取A₁C₁的中点D₁，AC₁的中点F，连接B₁D₁、EF、D₁F．
则有D₁F

∥

.

1

2

AA₁，B₁E

∥

.

1

2

AA₁．
∴D₁F

∥

.

B₁E．
则四边形D₁FEB₁是平行四边形，
∴EF

∥

.

B₁D₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．
又∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁于A₁C₁，
且B₁D₁?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁．
∵EF?平面AEC₁，∴平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁．
解：（2）由（1）知，EF⊥平面AC₁，
则EF是三棱锥E-ACC₁的高．
由三棱柱各棱长都等于a，
则EC=AE=EC₁=

5

2

a，AC₁=

2

a．
∴EF=

AE2?AF2

=

3

2

a．
∵V _C1?AEC=V _E?ACC1，
设三棱锥V _C1?AEC的高为h，
则h为点C₁到平面AEC的距离．
则

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