Question

已知函数f（x）=ax+1x+2．（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若函数

已知函数f（x）=ax+1x+2．（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若函数f（x）=ax+1x+2在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)＝

x+1

x+2

，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝

x1+1

x1+2

?

x2+1

x2+2

=

x1?x2

(x1+2)(x2+2)

∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x₁＜x₂，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)?f(x2)＝

ax1+1

x1+2

?

ax2+1

x2+2

=

(2a?1)(x1?x2)

(x1+2)(x2+2)

＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以2a?1＞0，即a＞

1

2

，
所以实数a的取值范围是(

1

2

，+∞)．

Answer 2

1、
f(x)=ax+1/x+2
如果a=1
f(x)=x+1/x+2
f(x)=－1/（x+2）
＋1
因为x>-2
所以x+2>0
为增函数－>
1/（x+2）为减函数－>
－1/（x+2）为增函数
所以f(x)=－1/（x+2）
＋1
在(-2,+∞)为增函数。
2、f(x)=ax+1/x+2
＝>f(x)=-(2a+1)/(x+2)+a
因为x>-2
所以x+2>0
为增函数，1/(x+2)为减，－1/(x+2)为增函数。
因为f(x)=-(2a+1)/(x+2)+a
为增函数
（给出的条件）
所以2a+1>0
=>a>-1/2