Question

求同余方程组x≡2 mod7，x≡6 mod11，x≡5 mod13的最小正整数解。

Answer 1

最小正整数解应该是226吧，不妨自己计算验证。
x≡5 mod13
可知x=13a+5（a为非负整数）（1），
将（1）代入x≡6 mod11
得：13a+5≡6 mod11
得：2a≡1 mod11，
两边同乘6得：12a≡6 mod11，即11a+a≡6 mod11
解得：a≡6，mod11 可知a=11b+6（b为非负整数）（2）
将（2）回代入（1）得x=13*（11b+6）+5，
即x=143b+83（3）
把（3）代入
x≡2 mod7
得143b+83≡2 mod7，
可解得：b≡1 mod7，即b=7c+1，（4）
将（4）回代入（3）得：x=143*（7c+1）+83，
x=1001c+226（c为非负整数）。
所以x最小为226.

Answer 2

x≡2 mod7，x≡6 mod11
可得
x≡-5 mod7，x≡-5 mod11
x≡-5 mod77

令x = 77a+13b+1001t
代入，13b≡-5mod77, 77a≡5mod13
b≡-30mod77， a = -5mod13
最小=77*8+13*47 = 1227

Answer 3

11 13最小公倍数143 143=3mod7 143*2=286=6mod7 429=2mod7 429 符合
7 13最小公倍数91 91=3mod11 182=6mod11 182 符合
7 11最小公倍数77 77=12mod13 616=5mod13 616符合

x=429+182+616=1227 11 13 7 三者最小公倍数为1001<1227
x为1227-1001=226