Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm 2 ，求△ABF的周长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD ∥ BC， ∴∠EAO=∠FCO， 由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF， 在△AOE和△COF中， ∵ ∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=AE=10cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴S △ABF = 1 2 AB?BF=24cm 2 ， ∴AB?BF=48（cm 2 ）， ∴AB 2 +BF 2 =（AB+BF） 2 -2AB?BF=（AB+BF） 2 -2×48=AF 2 =100（cm 2 ）， ∴AB+BF=14（cm） ∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．