Question

（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE的形状； （2）在（1）中，是

（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE的形状； （2）在（1）中，是否存在平行四边形ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不存在，请说明理由； （3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？ （5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？

Answer 1

解：（1）∵△ABE、△CBF是等边三角形， ∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°； ∴∠EBF=∠ABC=60°﹣∠ABF； ∴?△EFB≌△ACB； ∴EF=AC=AD； 同理由△CDF≌△CAB， 得DF=AB=AE； 由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形；   （2）存在，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°； 证明：当∠BAC=60°时， ∵△ABE、△ACD是等边三角形， ∴∠BAE=∠CAD=60°； 若∠BAC=60°， 则E、A、D三点共线，A、E、F、D够不成四边形； 当∠BAC≠60°时，由（1）知四边形AEFD是平行四边形； 故存在平行四边形AEFD，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；   （3）若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形； ∴∠EAD=360°﹣150°﹣60°﹣60°=90°； 即△ABC满足∠BAC=150°时， 四边形AEFD是矩形；   （4）若AE=AD，则平行四边形AEFD是菱形； 此时AE=AB=AC=AD， 即△ABC是等腰三角形； 故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；   （5）综合（3）（4）的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．