Question

已知等差数列{a n }的公差d大于0，且a 2 、a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为T n ，

已知等差数列{a n }的公差d大于0，且a 2 、a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为T n ，且 T n =1- 1 2 b n ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n项和为S n ，试判断n≥4时 1 b n 与S n+1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）设a n 的首项为a 1 ，∵a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根， ∴ a 2 + a 5 =12 a 2 ? a 5 =27 ，∴ 2 a 1 +5d=12 ( a 1 +d)( a 1 +4d)=27 ∴a 1 =1，d=2，∴a n =2n-1 n=1时，b 1 =T 1 =1- 1 2 b 1 ，∴b 1 = 2 3 n≥2时， T n =1- 1 2 b n ， T n-1 =1- 1 2 b n-1 ， 两式相减得b n = 1 3 b n-1 数列是等比数列， ∴b n = 2 3 ?（ 1 3 ） n-1 ； （2）S n = n[1+(2n-1)] 2 =n 2 ，∴S n+1 =（n+1） 2 ， 1 b n = 3 n 2 n≥4时， 1 b n ＞S n+1 ，证明如下： 下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证． ②假设当n=k （k∈N * ，k≥4）时， 1 b k ＞S k+1 ，即 3 k 2 ＞（k+1） 2 ． 那么n=k+1时， 1 b k+1 = 3 k+1 2 =3? 3 k 2 ＞3（k+1） 2 =3k 2 +6k+3 =（k 2 +4k+4）+2k 2 +2k-1＞[（k+1）+1] 2 =S （k+1）+1 ， ∴n=k+1时，结论也成立． 由①②可知n∈N * ，n≥4时， 1 b n ＞S n+1 都成立．