Question

若关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，则cx2+bx+a＜0的解集为______

若关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，则cx2+bx+a＜0的解集为______．

Answer 1

∵关于x不等式ax²+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β=?

b

a

，α?β＝

c

a

．
∴cx²+bx+a＜0化为

c

a

x2+

b

a

x+1＞0．
∴α?βx²-（α+β）x+1＞0，
化为（αx-1）（βx-1）＞0．
分类讨论：当0＜α＜β时，

1

α

＞

1

β

，此时不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
当0=α＜β时，此时不等式化为βx-1＜0，不等式的解集为{x|x＜

1

β

}．
当α＜0＜β时，不等式化为(x?

1

α

)(x?

1

β

)＜0，不等式的解集为{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
当α＜0=β时，此时不等式化为αx-1＜0，不等式的解集为{x|x＞

1

α

}．
当α＜β＜0时，

1

α

＞

1

β

，不等式化为(x?

1

α

)(x?

1

β

)＞0，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
综上可得：当0＜α＜β时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
当0=α＜β时，不等式的解集为{x|x＜

1

β

}．
当α＜0＜β时，不等式的解集为{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
当α＜0=β时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

}．
当α＜β＜0时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．