Question

已知椭圆M：x2a2+y23=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于

已知椭圆M：x2a2+y23=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为12，求椭圆上到l的距离为355的点的个数；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆的焦点为F（-1，0），所以c=1，
又b²=3所以a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（Ⅱ）直线l的斜率为

1

2

，方程为x-2y+1=0，设切线y=

1

2

x+b，
与椭圆方程联立，得4x²+4bx+4b²-12=0，
由△=0得b=±2，
∴切线方程为x-2y±4=0，
x-2y+4=0与l的距离为

|4-1|

5

=

3 5

5

，x-2y-4=0与l的距离为

|-4-1|

5

=

5

＞

3 5

5

∴椭圆上到l的距离为

3 5

5

的点的个数为3个；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线为x=-1，此时C(-1，-

3

2

)，D(-1，

3

2

)
△ABD与△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0                           …（7分）
当直线l斜率存在时，显然k≠0，
设直线为y=k（x+1）（k≠0）联立椭圆方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0，且x1+x

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