Question

已知数列{ an}的前n项和为Sn，满足2Sn+3=3an（n∈N*），{bn}是等差数列，且b2=a2，b4=a1+4．（I）求数列{

已知数列{ an}的前n项和为Sn，满足2Sn+3=3an（n∈N*），{bn}是等差数列，且b2=a2，b4=a1+4．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}的前n项和2S_n+3=3a_n（n∈N^*），∴n≥2时，2S_n-1+3=3a_n-1（n∈N^*），
∴两式相减可得2a_n=3a_n-3a_n-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）
∵n=1时，∴a₁=3，a₂=9
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴a_n=3ⁿ；
∵{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4，b₂=9，b₄=7，公差为-1，的等差数列
∴b₁=10，
∴b_n=10-（n-1）=11-n．
（II）c_n=a_nb_n=（11-n）?3ⁿ
∴T_n=10?3+9?3²+…+（11-n）?3ⁿ
∴3T_n=10?3²+9?3³+…+（12-n）?3ⁿ+（11-n）?3ⁿ⁺¹
两式相减可得-2T_n=30-3²-3³-…-3ⁿ-（11-n）?3ⁿ⁺¹=30-

3n+1?9

2

-（11-n）?3ⁿ⁺¹
∴T_n=（

21

4

?

n

2

）?3ⁿ⁺¹-

69

4