Question

已知函数f（x）=?2x2x+1．（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（2）若x∈[1，2]，求函

已知函数f（x）=?2x2x+1．（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；（3）若g（x）=a2+f(x)，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

＝

2x2?2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0
又2^x₁+1＞0，2^x2+1＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴f（x）值域为[?

4

5

，?

2

3

]．
（3）当x∈[{1，2}]时，g（x）∈[

a

2

?

4

5

，

a

2

?

2

3

]
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴

a

2

?

4

5

≥0，∴a≥

8

5

．