Question

（2013?六盘水）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，

（2013?六盘水）在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．

Answer 1

解答：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线；

（2）解：∵AD：AO=6：5，
∴AD：AE=6：10，
∴AD：AE：DE=6：10：8，
∵AE是直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE：DE=BC：BD：CD=6：10：8，
即BC：BD=6：10，
∵BC=3，
∴BD=5．