Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=17，S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=17，S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn=ancos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（I）设a_n首项为a₁，公差为d，
则

a1+d＝17 10(2a1+9d) 2 ＝100

解得

a1＝19 d＝?2

（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）
（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
当n为偶数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=(?2)×

n

2

+

2(1?2n)

1?2

＝2n+1?n?2（10分）
当n为奇数时，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=?a1+(a2?a3)+…+(an?1?an)+

2(1?2n)

1?2

=?19+2×

n?1

2

+2n+1?2=2ⁿ⁺¹+n-22（13分）
∴Tn＝

2n+1?n?2(当n为偶数) 2n+1+n?22(当n为奇数)

（14分）