Question

数学课堂上，老师出一道试题：（1）如图1，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC

数学课堂上，老师出一道试题：（1）如图1，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（图2），N1是∠D1CP1的分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=n?2n×180°n?2n×180°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

解答：（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠2＝∠1 AE＝MC ∠5＝∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=MN．


（2）解：结论A₁M₁=M₁N₁还成立．
理由是：如图2，在A₁B₁上借钱A₁E=M₁C₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=∠D₁C₁B₁=∠D₁C₁P=90°，
∵A₁E=M₁C₁，
∴B₁E=B₁M₁，
∴∠6=45°，
∴∠5=135°，
∵∠M 1 C₁N₁=90°+45°=135°=∠5，
∵∠1=180°-∠A₁MB₁-∠A₁M₁N₁，∠2=180°-∠A₁M₁B₁-∠B₁，∠A₁M₁N₁=∠B₁=90°，
∴∠1=∠2，
在△A₁EM₁和△M₁C₁N₁中

∠2＝∠1 A1E＝M1C1 ∠5＝∠M1C 1N1

∴△A₁EM₁≌△M₁C₁N₁，
∴A₁M₁=M₁N₁；

（3）解：由∠AMN=60°=

3?2

3

×180°，∠A₁M₁N₁=90°=

4?2

4

×180°，
猜想∠A_nM_nN_n=

n?2

n

×180°．
故答案为：

n?2

n

×180°．