Question

已知等比数列{an}是递增数列，且满足a1+a2+a3=39，a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

已知等比数列{an}是递增数列，且满足a1+a2+a3=39，a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=1(n=1)an-1log3an(n≥2)，记数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞120成立的最小n值．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞1），
由已知得，2（a₂+6）=a₁+a₃，即2(a1q+6)=a1+a1q2  ①
a1+a1q+a1q2=39  ②
联立①②得，a₁=3，q=3．
∴an=3n；
（Ⅱ）由bn=an-1log3an=3n-1?n（n≥2）．
∴Sn=1+2?31+3?32+…+n?3n-1  ③
3Sn=31+2?32+3?33+…+n?3n  ④
④-③得2Sn=-1-31-32-…-3n-1+n?3n=-(

1-3n

1-3

)+n?3n．
∴2Sn=n?3n-

3n

2

+

1

2

=(n-

1

2

)?3n+

1

2

．
由S_n＞120，得(n-

1

2

)?3n+

1

2

＞240．
∴n≥4．
∴最小n的值为4．