Question

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______．

Answer 1

①f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3），
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＜0，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减；在（-1，3）上单调递增．
所以当x=-1时f（x）取得极小值f（-1）=-6+a，f（-2）=2+a，f（2）=22+a．
由于函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，
则

f(?1)＝?6+a≤0 f(2)＝22+a≥0

  解得-22≤a≤6，
所以当函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点时，实数a的取值范围是[-22，6]．
故答案为：-22≤a≤6．