Question

已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD

已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．

Answer 1

解答：证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，（1分）

∴∠FBC＝90° ∵∠ACB＝90°，

∴∠FBC=∠ACB=90°．
∴AC∥BF．

∴∠ACE＝∠EFB ∠CAE＝∠EBF

∴△ACE∽△BFE．（3分）
∴

AC

BF

＝

AE

EB

＝2．
∴AC=2BF．（4分）

∵D是BC的中点， ∴BC＝2CD，

∵AC=BC，
∴CD=BF．（5分）
在△ACD和△CBF中

AC＝CB ∠ACB＝∠CBF＝90° CD＝BF

，
∴△ACD≌△CBF．（6分）
∴∠1=∠2．
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．
∴∠4=90°．
∴CE⊥AD．（7分）