Question

设向量α1，α2，α3线性无关，且β=α1+α2+α3，证明β-α1，β-α2，β-α3也线性无关

设向量α1，α2，α3线性无关，且β=α1+α2+α3，证明β-α1，β-α2，β-α3也线性无关．

Answer 1

解答：证明：假设存在一组实数k₁，k₂，k₃，使得
k₁（β-α₁）+k₂（β-α₂）+k₃（β-α₃）=0
即
（k₁+k₂+k₃）β-（k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃）=0
而β=α₁+α₂+α₃，
∴（k₂+k₃）α₁+（k₁+k₃）α₂+（k₁+k₂）α₃=0
由于向量α₁，α₂，α₃线性无关
∴

k2+k3＝0 k1+k3＝0 k1+k2＝0

方程组的系数行列式为

.

0 1 1 1 0 1 1 1 0

.

＝2≠0
因此，方程组只有零解
即k₁=k₂=k₃=0
∴β-α₁，β-α₂，β-α₃也线性无关．