Question

已知等边三角形abc的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点p，若点p到ab的距离是1，点p到ac

已知等边三角形abc的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点p，若点p到ab的距离是1，点p到ac的距离是2，则点p到bc的最小距离是 最大距离是 。

Answer 1

是⊿ABC内部的一点，PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,则PD+PE+PF=AH。利用面积的证明方法是连接PA、PB、PC，由AB=BC=CA及S⊿pbc+S⊿pca+S⊿pab=S⊿abc得
(1/2)PD*BC+(1/2)PE*CA+(1/2)PF*AB=(1/2)AH*BC,化简后即得PD+PE+PF=AH。
该习题变化后就出现图②和图③的情况。图②中P点位于∠BAC的对顶角内部，PD-PE-PF=AH；
图③中P点位于∠BAC的一个邻补角内部，PD+PE-PF=AH (P点在右侧时PD-PE+PF=PH)。都可以用面积法证明。
本题中，PF=1，PE=2，PH=4，求PD的最小值可用示意图①1计算，由PD+2+1=4，得PDmin=1；
PD获得最大值的情况按示意图②计算，由PD-2-1=4，得PDmax=7.。