Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函．给出下面三个函数：①f（x）=1；②f（x）=x 2 ；③ f(x)= x x 2 +x+1 ．其中属于有界泛函的是（　　） A．① B．② C．③ D．①②③

Answer 1

①对于f（x）=1，当x=0时，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不属于有界泛函； ②对于f（x）=x 2 ，当x≠0时，有 |f(x)| |x| =|x| 无最大值，f（x）=x 2 不属于有界泛函； ③对于f（x）= x x 2 +x+1 ，当x≠0时，有 |f(x)| |x| =| 1 x 2 +x+1 | = 1 (x+ 1 2 ) 2 + 3 4 ≤ 4 3 ，当x=0时，|f（x）|= 4 3 ×0 ， 故f（x）= x x 2 +x+1 属于有界泛函； 故选C．