Question

已知函数f(x)=x 3 +ax 2 +x+1，a∈R，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间 内是减函数，

已知函数f(x)=x 3 +ax 2 +x+1，a∈R，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间 内是减函数，求a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3x 2 +2ax+1，判别式△=4(a 2 -3)， (ⅰ)若 或 ，则在 上f′(x)＞0，f(x)是增函数； 在 内f′(x)＜0，f(x)是减函数； 在 上f′(x)＞0，f(x)是增函数。 (ⅱ)若 ，则对所有x∈R都有f′(x)＞0，故此时f(x)在R上是增函数； (ⅲ)若 ，则 ，且对所有的 都有f′(x)＞0， 故当 时，f(x)在R上是增函数。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，只有当 或 时，f(x)在 内是减函数， 因此 ，① 且 ，② 当 时，由①②解得a≥2， 因此a的取值范围是[2，+∞)。