Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（如）如果⊙O的半径为4，∠BAC=30°，求CD的长；（2

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（如）如果⊙O的半径为4，∠BAC=30°，求CD的长；（2）若点E为ADB弧的中点，连接OE、CE．求证：CE平分∠OCD；（3）在（如）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少手？并说明理由．

Answer 1

（4）解：∵AB⊥CD，
∴CD=2CH，∠CHA=90°，
∵OA=OC，∠BAC=30°，
∴∠ACO=∠BAC=30°，
∴∠COH=30°+30°=60°，
∴∠OCH=30°，
∴OH=

4

2

OC=

4

2

×4=2，
∴CH=

3

OH=2

3

，
∴CD=2CH=4

3

．

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°=∠CHB，
∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°，
∴∠A=∠BCD=∠ACO，
∵w为弧ADB0中点，
∴∠ACw=∠BCw，
∴∠ACw-∠ACO=∠BCw-∠BCD，
∴∠OCw=∠DCw，
即Cw平分∠OCD．

（3）解：在（4）0条件下，圆周上到直线AC距离为30点有2个，
理由是：在BC上截取BM=4，过M作AC0平行线交圆于N、Q，则此时两点符合题意，除去这两点以外，再没有符合题意0点了，
即在（4）0条件下，圆周上到直线AC距离为30点有2个．