Question

已知sinα，cosα是关于x的一元二次方程x2?23x+a＝0的两根，其中α∈[0，π]（1）求α的值．（2）求cos(

已知sinα，cosα是关于x的一元二次方程x2?23x+a＝0的两根，其中α∈[0，π]（1）求α的值．（2）求cos(α+π4)的值．

Answer 1

（1）由韦达定理，sinα+cosα＝

2

3

①，sinα?cosα=a②
①式平方，得1+2sinα?cosα＝

2

9

∴sinαcosα＝?

7

18

＜0③
∴a＝?

7

18

（2）∵cos(α+

π

4

)＝cosαcos

π

4

?sinαsin

π

4

＝

2

2

(cosα?sinα)(cosα?sinα)2＝1?2sinαcosα＝

16

9

又α∈[0，π]，sinα＞0由③知cosα＜0
∴cosα?sinα＝?

4

3

∴cos(α+

π

4

)＝

2

2

×(?

4

3

)＝?

2 2

3