Question

如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），

如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．

Answer 1

因为A、B两点在抛物线y²=2px上，设点A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂）
∵

OA

⊥

OB

 
∴

OA

?

OB

=

y12

2p

?

y22

2p

 +y1y2＝0?y1y2(

y1y2

4p2

+1)＝0
∵y₁y₂≠0，∴

y1y2

4p2

+1＝0?y1y2＝?4p2…①
∵直线AB的斜率为k＝

y1?y2

y12 2p ? y22 2p

＝

2p

y1+y2

∴直线AB的方程为y?y1＝

2p

y1+y2

(x?

y12

2p

)，
令y=0，得?y1＝

2p

y1+y2

(x?

y12

2p

)??y12?y1y2=2px-y12
∴-y₁y₂=2px…②
将①代入②，得4p²=2px?x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率为k₁=

0?1

0?2

=

1

2

∴直线AB的斜率为k＝

?1

k1

＝?2，
∴结合D、M的坐标，可得k＝

0?1

2p?2

＝?2，解之得p=

5

4

．