Question

（2007?上海模拟）过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相

（2007?上海模拟）过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A、B两点．（1）用p表示A，B之间的距离；（2）证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

Answer 1

（1）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为

π

4

的直线方程是y＝x?

p

2

由

y2＝2px y＝x? p 2

?x2?3px+

p2

4

＝0?xA+xB＝3p，xAxB＝

p2

4

?|AB|=x_A+x_B+p=4p
（或|AB|＝

2p

sin2 π 4

＝4p）

（2）cos∠AOB＝

|AO|2+|BO|2?|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2?(xA?xB)2?(yA?yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB? p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=?

3 41

41

∴∠AOB的大小是与p无关的定值，∠AOB=π?arccos

3 41

41

．