Question

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设FA?FB＝89，求△BDK的内切圆M的方程．

Answer 1

（Ⅰ）抛物线C：y²=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，
代入①，整理得
y²-4my+4=0，
设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
点A关于X轴的对称点D为（x₁，-y₁）．
BD的斜率k₁=

y1+y2

x2?x1

=

4

y2?y1

，
BF的斜率k₂=

y2

x2?1

．
要使点F在直线BD上
需k₁=k₂
需4（x₂-1）=y₂（y₂-y₁），
需4x₂=y2²，
上式成立，∴k₁=k₂，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）

FA

?

FB

=（x₁-1，y₁）（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=

8

9

，
∴m²=

16

9

，m=±

4

3

．
y₂-y₁=

16m2?16

=4

m2?1

=

4 7

3

，
∴k₁=

3

7

，BD：y=

3

7

（x-1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=

4

3

y-1和到BD的距离相等，即
|a+1|×

3

5

=|（

3

7

（a-1）|×

7

4

，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=

1

9

．
∴半径r=

2

3

，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x-

1

9

）²+y²=

4

9

．