Question

设函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f'(x).要详细过程 急

(2)讨论g(x)与g(1/x)的大小关系(3)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立。

Answer 1

(2)f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f'(x)=lnx+1/x
g(1/x)=-lnx+x
g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x
当0<x<1时，g(x)-g(1/x)>0 即 g(x)>g(1/x)
当x>1时，g(x)-g(1/x)<0 即 g(x)<g(1/x)
(3)g(a)=lna+1/a a>0
g(a)-g(x)<1/a 即 lna+1/a -lnx-1/x<1/a
ln(a)<1/x+lnx
∵1/x+lnx的最小值是1
∴ 0<a<e