Question

高中数学第九题求解

Answer 1

结论：C

理由:由已知f(x)在开区间(0,+∞)上的最小值点必是极值点。
由 f'(x)=(2nx/√(x^2+1))-1=0
得x=1/√(4n^2-1) 是唯一极值点

所以f(x)的最小值只能是
f(1/√(4n^2-1))=...=√(4n^2-1)

希望能帮到你！

追问

那怎么判断这就是最小值呢

而不是最大值

追答

有这里可以不作判断。

理由: 选择题的选择支已明确这个函数在开区间(0,+∞)上有最小值，而函数在其上可导，且仅有唯一的极值点，则该点必是所求最小值点，这是小题不必大作。

希望能帮到你！

追问

可是我想彻底弄明白这题，为什么那个一定是最小值呀？

追答

设 A=√(4n^2-1) ，B=√(x^2+1)

f'(x)=2nx/B-1=(2nx-B)/B
=(4n^2x^2-B^2)/(B(2nx+B))
=((Ax)^2-1)/(B(2nx+B))
=(x-1/A)*A(Ax+1)/(B(2nx+B))

上式中由已知A(Ax+1)/(B(2nx+B))>0

01/A时,f'(x)>0,得f(x)在(1/A,+∞)上单增
f'(1/A)=0 f(x)在x=1/A处最小。

希望能帮到你！

追问

谢谢你了