Question

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是 AC 的中点，过点D作直线于BC垂直，交BC延长线于E

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是 AC 的中点，过点D作直线于BC垂直，交BC延长线于E点， 且交BA延长线于F点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若 tanB= 7 3 ，BE=6，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵D是 AC 的中点， ∴∠AOD=∠B， ∴OD ∥ BC， ∵EF⊥BE， ∴∠E=90°， ∴∠ODF=90°， 即EF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，∵∠AOD=∠B， tanB= 7 3 ，BE=6， ∴DF= 7 r 3 ， ∵ EF BE = 7 3 ∴EF=2 7 ， ∴EF 2 +BE 2 =BF 2 ， 即BF=8， ∵OD ∥ BC， ∴△ODF ∽ △BEF， ∴ DO BE = AF BF ， 即 r 6 = OF 8 ， 则OF= 4 3 r， ∴由切割线定理得，DF 2 =AF?BF， 即 7 9 r 2 = 1 3 r×8， 解得r= 24 7 ．