Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；（2）如图（2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。

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Answer 1

（1）C(－1，－1)；（2）见解析；（3）BD="2(OA" +OD)

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO(AAS)，即得CF=OA=1，AF=OB=2， 从而求得结果； （2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD(ASA)，即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G，从而得到结论； (3)在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD="AH," ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△ACE≌△BAH(AAS)，即可得到   AE=BH=2OA，从而得到结果. （1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F 则△ACF≌△ABO(AAS)， ∴CF=OA=1，AF=OB=2 ∴OF=1 ∴C(－1，－1)； （2）如图，过点C作CG⊥AC交y轴于点G 则△ACG≌△ABD(ASA) ∴CG=AD=CD，∠ADB="∠G" ∵∠DCE=∠GCE=45° ∴△DCE≌△GCE(SAS) ∴∠CDE=∠G ∴∠ADB=∠CDE；   (3) 如图，在OB上截取OH=OD，连接AH 由对称性得AD="AH," ∠ADH=∠AHD ∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO ∴∠AEC=∠BHA     又∵AB=AC  ∠CAE=∠ABH ∴△ACE≌△BAH(AAS)    ∴AE=BH=2OA         ∵DH=2OD ∴BD="2(OA" +OD) 点评：解答本题的关键是正确作出辅助线，同时熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活选择恰当的三角形进行分析.