Question

已知抛物线y=ax 2 +bx+c经过点（1，2）．（1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等

已知抛物线y=ax 2 +bx+c经过点（1，2）．（1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

（1）由题意，a+b+c=2， ∵a=1， ∴b+c=1 抛物线顶点为A（- b 2 ，c- b 2 4 ） 设B（x 1 ，0），C（x 2 ，0）， ∵x 1 +x 2 =-b，x 1 x 2 =c，△=b 2 -4c＞0 ∴|BC|=|x 1 -x 2 |= | x 1 - x 2 | 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = b 2 -4c ∵△ABC为等边三角形， ∴ b 2 4 -c= 3 2 b 2 -4c 即b 2 -4c=2 3 ? b 2 -4c ， ∵b 2 -4c＞0， ∴ b 2 -4c =2 3 ， ∵c=1-b， ∴b 2 +4b-16=0，b=-2±2 5 所求b值为-2±2 5 ． （2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾． ∴a＞0． ∵b+c=2-a，bc= 4 a ∴b，c是一元二次方程x 2 -（2-a）x+ 4 a =0的两实根． ∴△=（2-a） 2 -4× 4 a ≥0， ∴a 3 -4a 2 +4a-16≥0，即（a 2 +4）（a-4）≥0，故a≥4． ∵abc＞0， ∴a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0， ∵a≥4，与a+b+c=2矛盾； ②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0， 则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2， ∵a≥4， 故2a-2≥6 当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|+|b|+|c|的最小值为6．