Question

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，S4=2S2+4，b2＝19，T2＝49

已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，S4=2S2+4，b2＝19，T2＝49（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈N*，都有Sn≥S8成立，求a1的取值范围；（3）若a1＝12，判别方程Sn+Tn=2010是否有解？说明理由．国．

Answer 1

解答：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d＝2(2a1+d)+4（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1（1分）
Sn＝

a1+an

2

n＝

1

2

[n2+(2a1?1)n]
∵对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，∴

15

2

≤?

2a1?1

2

≤

17

2

（4分）
∴-8≤a₁≤-7
∴a₁的取值范围是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，
必须有

a8≤0 a9≥0

（1分）

a1+7d≤0 a1+8d≥0

求得-8≤a₁≤-7（4分）
∴a₁的取值范围是[-8，-7]（5分）
（3）由于等比数列{b_n}满足 b2＝

1

9

，T2＝

4

9

b1q＝ 1 9 b1+b1q＝ 4 9

（1分）
b1＝

1

3

   q＝

1

3

Tn＝

1 3 [1?( 1 3 )n]

1? 1 3

＝

1

2

[1?(

1

3

)n]（2分）
Sn＝na1+

1

2

n(n?1)d＝

1

2

n2（3分）
则方程S_n+T_n=2009转化为：n2+[1?(

1

3

)n]＝4018（3分）
令：f(n)＝n2+1?(

1

3

)n，
由于 f(n+1)?f(n)＝2n+1+

2

3

(

1

3

)n＞0
所以f（n）单调递增（4分）
当1≤n≤63时，f(n)≤632+[1?(

1

3

)63]＜632+1＝3970（5分）
当n≥64时，f(n)≥642+[1?(

1

3

)64]＞642＝4096（6分）
综合：方程S_n+T_n=2009无解．