Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（1）求数列{an}的通项公式；（2

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：数列{bn2n}为等差数列，并求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=s₁=2¹-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
a₁=1适合通项公式a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-2b_n=8a_n，
∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2，又

b1

21

=1，
∴{

bn

2n

}是首项为1，公差为2的等等差数列． 
∴

bn

2n

=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

22(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-6-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）?2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6．