(2014?安徽模拟)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=3,AB=1,AD=2,∠BAD
(2014?安徽模拟)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,G,H分别是BC,P...
(2014?安徽模拟)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,G,H分别是BC,PC,AD的中点.(Ⅰ)求证:PH∥平面GED;(Ⅱ)求证:平面PAE⊥平面PDE;(Ⅲ)求三棱锥P-GED的体积.
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(Ⅰ)连接HC,交ED于点N,连结GN,由条件得DHEC是平行四边形,
所以N是线段HC的中点,又G是PC的中点,所以GN∥PH.
又∵GN?平面GED,PH?平面GED内,
所以PH∥平面GED.
(Ⅱ)连接AE,EH,
∵在平行四边形ABCD中,∠BAD=120°,点E,H分别为BC,AD的中点,AB=1,AD=2,
∴四边形ECDH为菱形,AE∥CH,
∴DE⊥CH,
∴AE⊥DE.
∵PA⊥平面ABCD,DE?平面ABCD,
∴PA⊥DE,
∵PA∩AE=A,
∴DE⊥平面PAE,
∵DE?平面PDE,
∴平面PAE⊥平面PDE.
(Ⅲ)VP-GED=VE-PGD=VE-CDG=
VP-CED,
S△CED=
,三棱锥P-CED的高为PA=
,
∴VP-GED=
VP-CED=
×
×
×
=
.
所以N是线段HC的中点,又G是PC的中点,所以GN∥PH.
又∵GN?平面GED,PH?平面GED内,
所以PH∥平面GED.
(Ⅱ)连接AE,EH,
∵在平行四边形ABCD中,∠BAD=120°,点E,H分别为BC,AD的中点,AB=1,AD=2,
∴四边形ECDH为菱形,AE∥CH,
∴DE⊥CH,
∴AE⊥DE.
∵PA⊥平面ABCD,DE?平面ABCD,
∴PA⊥DE,
∵PA∩AE=A,
∴DE⊥平面PAE,
∵DE?平面PDE,
∴平面PAE⊥平面PDE.
(Ⅲ)VP-GED=VE-PGD=VE-CDG=
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S△CED=
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4 |
3 |
∴VP-GED=
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