已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=π4处的切线斜率为2π8．（1）求a的值，并讨论f（x）在[-π，
已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=π4处的切线斜率为2π8．（1）求a的值，并讨论f（x）在[-π，π]上的单调性；（2）设函数g（x）=ln（m...
已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=π4处的切线斜率为2π8．（1）求a的值，并讨论f（x）在[-π，π]上的单调性；（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+1?x1+x，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，π2]，使得g（x1）≥f（x2）成立，求m的取值范围．
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（1）函数的导数为f′（x）=asinx+axcosx-sinx，
在f（x）在x=
处的切线斜率k=f′（
）=asin
+a×
cos
-sin
=
+
?
=
．
即
（1-a）=-
（1-a），则1-a=0，解得a=1．
即f（x）=xsinx+cosx，
则f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
由f′（x）＞0得xcosx＞0，即
或
，即0＜x＜
或者-π＜x＜?
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得xcosx＜0，即
或
，即
＜x＜π或者?
＜x＜0，此时函数单调递减；
（2）当x2∈[0，
]时，由（1）可知函数f（x）单调递增，则f（0）≤f（x2）≤f（
），
即1≤f（x2）≤
，
设函数g（x）=ln（mx+1）+
，x≥0，其中m＞0，若对任意的x1∈[0，+∞）总存在x2∈[0，
]，使得g（x1）≥f（x2）成立，
则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
g′（x）=
-
＞0，则mx2＞2-m，
若m≥2时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜m＜2，则x＞
在f（x）在x=
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 8 |
| ||
| 2 |
| ||
| 8 |
即
| ||
| 8 |
| ||
| 2 |
即f（x）=xsinx+cosx，
则f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
由f′（x）＞0得xcosx＞0，即
|
|
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
由f′（x）＜0得xcosx＜0，即
|
|
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）当x2∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
即1≤f（x2）≤
| π |
| 2 |
设函数g（x）=ln（mx+1）+
| 1?x |
| 1+x |
| π |
| 2 |
则g（x1）min≥f（x2）min成立，即g（x1）min≥1即可．
g′（x）=
| m |
| mx+1 |
| 2 |
| (1+x)2 |
若m≥2时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜m＜2，则x＞
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