Question

如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，

如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD， ∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形。∴∠OBD=∠ODB=60°。 ∵BD=BC，∴∠BDC= ∠OBD=30°。 ∴∠ODC=90°。 ∴OD⊥CD。 ∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线。 （2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°。 ∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4。 ∴ 。

试题分析：（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论。 （2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD。