Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，-3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）若P是抛物线对称轴上一个动点，求当PA+PC的值最小时P点坐标．

Answer 1

（1）∵点C的坐标为（0，-3）， ∴OC=3， ∵BO=CO， ∴OB=3， ∴B（3，0）， ∴ -3=c 0=9+3b+c ， 解得： b=-2 c=-3 ， ∴二次函数的解析式为：y=x 2 -2x-3； （2）∵二次函数的解析式为：y=x 2 -2x-3， ∴当y=0时，x 1 =-1，x 2 =3， ∴AB=4， S △ABC = 4×3 2 =6； （3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴连接BC交对称轴于点P，则点P是所求的点， ∵y=x 2 -2x-3， ∴y=（x-1） 2 -4， ∴对称轴为：x=1， ∴P点的横坐标为1，设直线BC的解析式为：y=kx+b，则 -3=b 0=3k+b ， 解得； k=1 b=-3 ， ∴直线BC的解析式为：y=x-3， ∴x=1，时，y=-2， ∴P（1，-2）．