在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜
在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点...
在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
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（1）①证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，
在△AOC1和△BOD1中
，
∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；
②AC1⊥BD1；
（2）AC1⊥BD1．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=
AC，OD=OB=
BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，
∴
＝
，
∴△AOC1∽△BOD1，
∴∠OAC1=∠OBD1，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，
∴∠APB=90°
∴AC1⊥BD1；
∵△AOC1∽△BOD1，
∴
=
=
=
=
，
∴k=
；
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，
∴
=
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，
在△AOC1和△BOD1中
|
∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；
②AC1⊥BD1；
（2）AC1⊥BD1．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，
∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，
∴
| OC1 |
| OD1 |
| OA |
| OB |
∴△AOC1∽△BOD1，
∴∠OAC1=∠OBD1，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，
∴∠APB=90°
∴AC1⊥BD1；
∵△AOC1∽△BOD1，
∴
| AC1 |
| BD1 |
| OA |
| OB |
| ||
|
| AC |
| BD |
| 5 |
| 7 |
∴k=
| 5 |
| 7 |
（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，
∴
| AC1 |
| BD1 |
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