Question

已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+12}为等比数列；（Ⅱ）记

已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+12}为等比数列；（Ⅱ）记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．

Answer 1

解：令bn=an+12
（1）3an=2sn+n,带入a1,有
3a1=2a1+1，得a1=1；
令n=2，带入：3a2=2（a1+a2）+2,得a2=4
令n=3，带入：3a3=2（a1+a2+a3）+3，得a3=13
b1*b3=（1+12）*（13+12）=325
b2*b2=(4+12)^2=256≠B1*B3,所以数列{an+12}并不是等比数列。
（2）由题设可知，----------为避免混淆，本题目字母相乘都用*表示，不省略。
3*an=2*Sn+n，
故有3*an=2*an+2S(n-1)+n （此处n大于1）
3*a(n-1)=2*S(n-1)+n-1
由上两式可得an=3*a（n-1）+1，整理得
an+0.5=3（a（n-1)+0.5）
所以an+0.5=（a1+0.5）*3^（n-1) (n>1)
所以an=（a1+0.5）*3^（n-1) -0.5.
------------------------
由于
3*an=2Sn+n，故有
3*a（n-1）=2S（n-1）+n-1
……
3a2 =2S1+2
把以上各式相加，得3Sn-3a1=2Tn+0.5n*（n+1）
由于an的通项公式已推出来，Sn可以用an表示，所以也是已知，
所以，Tn也就得到了。
剩下的小部分计算，就留给题主练手了吧，不然看过就忘了哟

Answer 2

（Ⅰ）证明：∵3a_n=2S_n+n，
∴3a_n-1=2S_n-1+n-1（n≥2），
两式相减得：3（a_n-a_n-1）=2a_n+1（n≥2），
∴a_n=3a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），又a₁+

1

2

=

3

2

，
∴数列{a_n+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+

1

2

=

3

2

?3^n-1=

1

2

?3ⁿ，
∴a_n=

1

2

?3ⁿ-

1

2

=

1

2

（3ⁿ-1），
∴S_n=

1

2

[（3+3²+…+3ⁿ）-n]=

1

2

（

3(1?3n)

1?3

-n）=

3n+1?3

4

-

n

2

，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n=

1

4

（3²+3³+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹）-

3n

4

-

1

2

（1+2+…+n）
=

1

4

?

32(1?3n)

1?3

-

3n

4

-

(1+n)n

4

=

3n+2?9

8

-

已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是？ 评论 收起 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2022-07-22 已知数列｛an｝的前n项和为sn,若sn=3an+2n (1)求证:数列{an-2}是等比数列 2022-08-22 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=1/3(an-1) ,(n∈N),求证：数列{an}为等比数列. 2016-12-01 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n． （Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an； 30 2012-03-22 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-2n,n属于N*，求证（1+an）是等比数列 2 2013-02-13 已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n²-4n﹙n=1,2,3﹚.求证数列﹛an－2n＋1﹜为等比数列 3 2017-10-10 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an} 3 2012-02-26 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)1.求证数列{an+1}是等比数列 4 2019-09-14 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)1.求证数列{an+1}是等比数列 3 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式