Question

已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+3x?3y?6＝0过A，F

已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+3x?3y?6＝0过A，F2两点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=2π3时，证明：点P在一定圆上．（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率kQB，kQC存在且不为0，求证：kQB?kQC为定植．

Answer 1

解答：（1）解：∵圆x2+y2+

3

x?3y?6＝0与x轴交点坐标为A(?2

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴a＝2

3

，c＝

3

，∴b=3，
∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

＝1．…（4分）
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
所以kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x? 3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ?tanα

1+tanαtanβ

=

?2 3 y

x2+y2?3

，所以

?2 3 y

x2+y2?3

=-

3

，
化简得x²+y²-2y=3，所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴k_QB?k_QC=

n?y′

m?x′

?

?n?y′

?m?x′

=

n2?y′2

m2?x′2

∵

m2

12

+

n2

9

＝1，

x′2

12

+

y′2

9

＝1
∴两式相减可得

m2?x′2

12

+

n2?y′2

9

＝0
∴

n2?y′2

m2?x′2

=?

3

4

∴k_QB?k_QC=?

3

4

…（12分）